Захист
СЛАЙД 1 Доброго дня, я Кусенко Антон учень 10 класу Добровеличківської спеціалізованої школи-інтернат І-ІІІ ступенів Кіровоградської обласної ради презентую Вам свою наукову роботу на тему : «Діофантові рівняння». Мій педагогічний керівник: вчитель математики Коваленко Надія Миколаївна.
СЛАЙД 2 Актуальність обраної теми: вміння знаходити цілочисельні корені невизначених рівнянь потрібні учням при підготовці до ЗНО. Найчастіше завдання такого типу пропонують на різноманітних конкурсах, олімпіадах, турнірах.
Немає чіткого алгоритму для розв’язування діофантових рівнянь, тому шукати їх корені цікавий процес, що вимагає аналітичного і нестандартного мислення.
СЛАЙД 3 Мета роботи:
• ознайомитись із загальними відомостями про діофантові рівняння;
• ознайомитись з основними теоретичними відомостями про методи та способи розв'язування лінійних діофантових рівнянь та рівнянь вищих порядків;
• сформувати вміння застосовувати вивчений матеріал для розв'язування рівнянь з декількома змінними та логічних задач.
СЛАЙД 4 Перед виконанням роботи я перед собою поставив такі завдання
дослідити методи розв’язування діофантових рівнянь:
- метод спуску;
- метод виділення цілої частини;
- метод розкладання на множники.
СЛАЙД 5 Діофант Александрійський — давньогрецький математик, жив в III столітті в Александрії. Історія майже нічого не зберегла про його життя. В популярному в X-XIV ст. збірнику віршованих арифметичних задач „Грецька онтологія” вміщено задачу під назвою „Епітафія Діофанта”.
СЛАЙД6 Ця епітафія - єдине, що ми знаємо з біографії Діофанта.
Задача зводиться до рівняння
16 х + 112 х + 17 х +5+ 12 х + 4 = х, розв'язавши дане рівняння, одержуємо , що Діофант прожив 84 роки.
СЛАЙД 7 Ще більшою загадкою, ніж біографія Діофанта, стала для науки його „Арифметика”, з 13 книг якої збереглося лише шість. У них подано 189 задач з розв’язаннями і поясненнями. За формою „Арифметика” просто збірник задач, але за змістом – унікальне явище, справжнє чудо історії математики.
СЛАЙД 8 Діофантовими називають такі алгебраїчні рівняння або системи рівнянь з цілими коефіцієнтами, для яких знаходять цілі або раціональні розв'язки. Причому кількість невідомих перевищує кількість рівнянь, тому такі рівняння інколи називають невизначеними.
СЛАЙД 9 Діофантове рівняння х2 + у2 =z2 має цілі розв'язки, які називають піфагоровими числами.
Ще мудреців Стародавнього Вавилону цікавили способи знаходження його розв'язків .
Один з шляхів знаходження коренів рівняння x2 + y2 = z2 в цілих числах виявився доволі простим. Запишемо підряд квадрати натуральних чисел («квадратні числа», як їх називали в стародавньому світі), відділивши їх одне від одного комами. Під кожною комою запишемо різницю між послідовними квадратами.
А тепер увага! В нижньому рядку є квадратні числа! Перше з них 9=32 , над ним 16=42 і 25=52, знайома нам трійка трикутника 3, 4, 5.
Наступне квадратне число у нижньому ряду 25, йому відповідають 144 і 169, звідси знаходимо другу трійку 5, 12, 13, яку ми часто зустрічаємо при розв'язуванні задач. Якщо продовжити ряд квадратних чисел і порахувати відповідні різниці, то в другому рядку знаходимо 49=72, цьому числу відповідають в рядку квадратів 576=242 і 625=252. І дійсно 72+242=252. Це вже третя трійка, вона була відома ще в Стародавньому Єгипті.
Ці формули-правила були відомі вже дві з половиною тисячі років тому. А використовувати цей спосіб знаходження піфагорових трійок є дуже простим і цікавим.
СЛАЙД 10 Сьогодні піфагорові трійки мають вигляд:
х = m·n ; y = m2- n22 ; z = m2+ n22 ; де m,n – деякі взаємно прості числа.
Наприклад: m = 11, n = 1, тоді х = 11, у = 60, z = 61.Отже 112 +602 = 612.
СЛАЙД 11 В роботі для розв`язування лінійних діофантових рівнянь з двома невідомими використав метод спуску.
Алгоритм розв'язування лінійних рівнянь методом спуску.
Використовуючи цей спосіб я розв’язав рівняння та олімпіадні задачі.
СЛАЙД 12 Наприклад. Яку найбільшу кількість комплектів шахів по 5 і 8 гривень можна придбати за 103 гривні?( Вороний Олімпіадні задачі)
За умовою задачі складаємо рівняння 5х +8у = 103.Використовуючи алгоритм знаходимо розв’язок - 19 комплектів по 5 грн.; 1комплектів по 8 грн.
(Нехай х – кількість комплектів по 5 гривень;
у - кількість комплектів по 8гривень. Тоді 5х +8у = 103.
Застосуємо метод спуску: х = 20 – у + 3-3у5 ; 3-3у5 = t, tϵZ,
3y = 3 -5t, y =1 – t + 2t3 , 2t3 = u, u ϵ Z.
t = u + u2, u2 = v, v ∈z. u = 2v, t = 3v, y = 1 - 5v, x = 19 – 8v. Отже, загальний розв'язок {x = 19 – 8v y = 1 - 5v. Частковий розв'язок х = 19, у = 1.)
СЛАЙД 13 Інший спосіб розв’язування діофантових рівнянь - метод виділення цілої частини;. Розв’язки рівняння можна знайти, якщо виразити одну змінну через іншу і дослідити, для яких значень другої змінної перша змінна набуває цілих значень.
Наприклад. Знайти всі цілі розв'язки рівняння ху +3х – у = 20.
у = -3 + 17х-1; 17х-1 - дріб буде цілим числом при х1 = 2; х2 =18; х3 = -16 ; х4 = 0
у1= 14,у2 = -2, у3 = -4, у4 = -20 Отже ( 2; 14),(18; -2),(-16; -4),(0;-20).
Слайд14. Конкурсна математична задача: Знайти всі пари цілих чисел (x;y), які задовольняють умові:
x2 = y2 + 2y + 13.
Для розв’язання скористаємось методом розкладання на множники лівої частини рівняння, за умови що права частини рівняння є цілим числом.
Розкладемо ліву частину рівняння, виділивши квадрат суми:
Розкладемо, як різницю квадратів:
Права частина ціле число 12,
СЛАЙД 15 Знайдемо всі пари чисел які в добутку дають 12:
1) (1; 12);
2) (2; 6);
3) (3; 4);
4) (12; 1);
5) (6; 2);
6) (4; 3);
7) (-1;- 12);
8) (-2; -6);
9) (-3; -4);
10) (-12; -1);
11) (-6; -2);
12) (-4; -3);
рівняння рівносильне сукупності 12 систем. Послівно перебираючи всі можливі випадки вибираємо 4 які задовольняють умову.
СЛАЙД 16 Розв’язуючи системи рівнянь, знаходимо цілі розв’язки
{x-y-1=2 x+y+1=6 ; 2x=8→x=4; y=1.
- (4;1)
{x-y-1=6 x+y+1=2 ; 2x=8→x=4; y=-3
- (4;-3)
{x-y-1=-2 x+y+1=-6 ; 2x=-8→x=-4; y=-3
- (-4;-3)
{x-y-1=-6 x+y+1=-2 ; 2x=-8→x=-4; y=1
- (-4;1)
Отже, відповідь: (4;1) ; (4;-3) ; (-4;-3) ; (-4;1) .
СЛАЙД 17 Отже, результати моєї роботи такі:
- Вивчено історію діофантових рівнянь
- Досліджено три методи розв’язування діофантових рівнянь
- Розглянуто алгоритм розв‘язування лінійних рівнянь методом спуску
- розв'язав цікаві конкурсні задачі.
СЛАЙД 18 Напрямки подальшої моєї роботи:
- Застосування ланцюгових дробів до розв’язування лінійних рівнянь з
двома змінними.
- Ознайомитися з методом розгляду остач
- Вивчення застосувань рівнянь: діофантова апроксімація
- . Розв’язування лінійних рівнянь з трьома змінними в натуральних
та цілих числах .
СЛАЙД19 Застосування моєї роботи:
Мою можна використовувати на засіданнях математичного гуртка, при підготовці до конкурсів, олімпіад, ЗНО та екзаменів при вступі до ВНЗ.
Алгоритм розв‘язування лінійних рівнянь з двома змінними при вивченні рівнянь з двома змінними для учнів, які бажають знати досконаліше математику.
Слайд 20 Дякую за увагу!
Немає коментарів :
Дописати коментар